证明 1~5阶群都是Abel群

证明 1~5阶群都是Abel群

素数阶群都是单群，从而都是循环群，也就是abel群。

只需要考虑非素数阶的群就行了。

也就是只要考虑四阶群就行了。

假设这个四阶群不是循环群，（是循环群必然是abel群了）那它有非平凡子群，子群必为2阶。

取群中两个非单位元a，b。

他们分别构成的循环群都是二阶，从而a*a=b*b=e e为单位元。

现在注意a*b必不属于a生成的循环群，否则要么a*b=a 推出b=e矛盾；要么a*b=a*a 推出b=a，矛盾；

类似的a*b也不属于b生成的循环群；从而a*b既不是a，也不是b，也不是e，从而是第四个元素。

类似的b*a既不属于a生成的循环群，也不属于b生成的循环群。

注意一共只有四个元素，所以a*b=b*a;也就是a，b可交换；

其他的元素都是a，b的乘积，所以也可交换。证毕。

标签：阶群,Abel,证明